문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 라그랑주 승수법 (문단 편집) == 사용 시 주의점 == 라그랑주 승수법으로 최댓값이나 [[극값]]을 구할 때에는 몇 가지 주의점이 있다. * 라그랑주 승수가 존재한다고 극점이 되는 것은 아니고, 주어진 점이 극대인지 극소인지 알려면 이계도함수 판별법[* 이계도함수가 0보다 작거나 같으면 최댓값, 반대의 경우면 최소값] 을 사용해야 한다. 다변수함수 [math(f(x,y)=x^2-y^2)] 같은 경우는 점 [math((0,0))]에서 [[델(연산자)|그레이디언트]]가 0이지만, 그 점이 극점은 아니다. 제약조건이 없는 경우에는 그 점의 이계도함수들을 나타내는 헤세 행렬(Hesse matrix) 혹은 헤시안(Hessian)의 성질에 따른 이계도함수 판별법을 사용한다. 헤시안이 양/음의 정부호(positive/negative definite)이면 극대/극소값을 지니고, 헤시안이 indefinite이면 극대도 극소도 아니다. (저 경우가 아니면 판별할 수 없다.) 마찬가지로 제약조건이 있는 라그랑주 승수법의 경우, 극대/극소값을 판별하기 위해서는 목표함수의 헤시안을 영역의 접평면 위에서 보아야 한다. 이를 보다 적은 계산으로 판별할 수 있는 '경계 헤시안(Bordered Hessian)'을 이용하는 이계도함수 판별법이 보통 사용된다. 물론 이 이계도함수 판별법이 실패할 때도 있다. * 라그랑주 승수법은 영역 내부점에서의 극점만 잡아줄 수 있으므로, 경계점들은 따로 분석해야 한다. 라그랑주 승수법은 열린 영역에서만 성립한다. 즉 영역이 있으면 그 내부점들에서만 극값을 잡아줄 수 있다. 따라서 컴팩트인 영역이 있어 최대값의 존재성이 보장된다고 해도, 그 영역의 경계에 최대값이 나올 수가 있다. 위의 산술기하평균 예시의 영역 [math(C=\{(x_1,\cdots,x_n) : x_i \ge 0, x_1 + \cdots+x_n=n\})] 같은 경우는 영역의 경계에서 함수값이 0이어서 최대값이 나오지 않았다. 하지만 만약 목표함수가 [math(f = x_1)]라면 [math( \nabla f = (1, 0, \cdots, 0), \nabla g = (1, \cdots, 1) )] 이므로 라그랑주 승수법을 만족시키는 점은 없다. 최대값은 [math( x_1=n)]이고 나머지가 0인 경우로, 이는 영역의 경계에서 나온다. 이런 경우에서는 내부점의 극값들을 나열하고, 영역의 경계에서 최대값을 찾는 문제를 따로 풀면 된다. 경계의 영역을 다시 식이 0이 되는 모양으로 만들어서 라그랑주 승수법을 다시 적용하는 식으로 반복을 많이 하게 되지만, 엄청 귀찮은 작업이 되는 경우도 많다. 이게 싫으면... 제약조건이 [math(g =0 )] 꼴뿐만이 아니라 [math(h \ge 0)] 형태들도 포함하는 라그랑주 승수법의 업그레이드된 버전인 카루시-쿤-터커 조건(Karush-Kuhn-Tucker condition)을 사용하면 된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기